Las matemáticas y las elecciones

Los números de las encuestas y sondeos de opinión casi no caben en los diarios y páginas de noticias. Ni hablar de los "sesudos" análisis de esos números, que se extienden a los canales de televisión.

Como era de esperar, de tanto en tanto aparecen iluminados que intentan sembrar sospechas sobre la forma que tenemos de elección de autoridades y representantes. 

Y ello está basado en un hecho demostrable: nuestro sistema electoral no es perfecto, una afirmación tan cierta como que no existe un sistema que sí lo sea. 

Pero es necesario aclarar que lo dicho recién debe restringirse a un análisis estrictamente matemático.

El tema viene desde lejos en el tiempo: en el Siglo II de nuestra era, Plinio, el Joven, ya había denunciado situaciones paradójicas del voto; pero era una época en la que el voto estaba reservado a una minoría selecta. 

En siglos más recientes, algunos matemáticos analizaron con gran rigor científico la cuestión de la no infalibilidad electoral. Veamos algunos de esos estudios. 

La historia de un francés 

El 16 de junio de 1770, el matemático francés Jean-Charles Borda (1733-1799) presentó ante la Academia Real Francesa un problema que, desde entonces, se conoce como la "Paradoja de Borda". 

Borda demostró que con el sistema del voto plural —más conocido como "un ciudadano, un voto"— es posible elegir un candidato que, al mismo tiempo, sea rechazado por la mayoría de los electores. Lo único que haría falta es que los votos a favor de los otros candidatos estuviesen suficientemente divididos. 

Su presentación incluía un ejemplo en el que un electorado de 21 personas debía expresar un orden de preferencia por 3 candidatos: el A, el B y el C. 

En ese ejemplo, 1 de los votantes escogía la secuencia A-B-C (prefería en primer lugar al A, en segundo término al B y por último al C); 7 votantes elegían la secuencia A-C-B; otros 7 optaban por B-C-A, y los 6 restantes por C-B-A. 

Según el ejemplo de Borda y, en caso de aplicarse el sistema "un ciudadano, un voto", el candidato que aparece más veces primero en el orden de preferencia es el A, con 8 votos, seguido del B, con 7 y último aparece el C, con 6 votos. 

Al mismo tiempo —y por ello lo de la paradoja— el candidato A es el más rechazado por el electorado, pues 13 de los 21 votantes lo colocan en último lugar de preferencia. 

De aplicarse nuestro sistema electoral actual, para dirimir esta contienda habría segunda vuelta, de la que participaría, además del candidato A, el B. Sin embargo, el candidato menos rechazado es el C, al que sólo un votante lo pone en último lugar de preferencia, mientras que al B lo colocan en esa posición 7 de los 21 votantes. 

Entonces, el balotaje sería entre los dos candidatos más votados que son, simultáneamente, los más rechazados: el A y el B, y en este caso ganaría el B por 13 a 8. 

Pero, si la segunda vuelta se diera entre los candidatos A y C, este último ganaría por 13 a 8, mientras que, si fuera entre los candidatos B y C, también ganaría el C y por la misma diferencia de 13 a 8. 

La paradoja radica en que, el candidato menos resistido, o sea el C, no tendría oportunidad de competir en segunda vuelta, en la que, en caso de participar, sería el ganador. 

Otro francés y otra historia 

Revisando un poco más los registros históricos aparece la demostración del Marqués de Condorcet (1743- 1794), compatriota y contemporáneo de Borda. Condorcet partió del presupuesto que sería sensato pensar que las preferencias de un elector deberían ser transitivas: si alguien prefiere al candidato A sobre el B y, al mismo tiempo, prefiere al B sobre el C, es de esperar que, por carácter transitivo, prefiera al candidato A sobre el C. Condorcet demostró que esta transitividad podría no verificarse al hacerse una agregación de las preferencias de todo el electorado. 

Para explicar esta nueva paradoja imaginemos que ese electorado esté dividido en 3 grupos con la misma cantidad de votantes cada uno. El primer tercio tiene la siguiente preferencia: A-B-C; el segundo escoge: B-C-A; el tercer tercio opta por: C-A-B. 

Podríamos pensar que el candidato A vencería al B, pues así lo indica la preferencia del primer grupo y del tercero (dos tercios de los votantes). A su vez, el B vencería al C, pues así lo muestra la preferencia del primer y del segundo grupo. Entonces, parecería lógico que, por carácter transitivo, el candidato A debería ser preferido al C. Pero no es así: tanto los integrantes del grupo 2, como los del 3, prefieren el candidato C al A. 

La imperfección y la responsabilidad 

El tema fue estudiado inclusive por economistas, como Kenneth J. Arrow, Premio Nobel de Economía de 1972. Arrow demostró matemáticamente que no existe un sistema de elecciones que satisfaga condiciones razonables de manera simultánea, como por ejemplo la transitividad estudiada por Condorcet. 

A esa demostración se la conoce hoy como "Paradoja de Arrow", o Teorema de Imposibilidad. El Teorema de Imposibilidad dice que si el cuerpo que toma decisiones (en el caso que nos ocupa, el electorado) tiene como mínimo dos integrantes y existen al menos tres opciones sobre las que decidir, es imposible diseñar una regla de elección sin incoherencias.

Las paradojas electorales no se agotan en lo expuesto anteriormente. Si se navega un poco en la web aparecerá también la paradoja de Down, que postula que, para un votante racional e interesado, los costos de votar superan los beneficios esperados, o el teorema del votante "mediano", que indica que un sistema como el nuestro, el resultado de las elecciones se ubicará en la mediana de la distribución de votantes y no en el promedio.

Desde el punto de vista de la lógica matemática parecería que la sociedad está ante un problema que no tiene solución. 

Aun así, la elección de autoridades a través del voto popular es, hasta hoy, la forma más eficaz y eficiente de ejercer la democracia, por lo que muchos sociólogos lo consideran uno de los grandes logros de la humanidad. 

Por ello, los votantes tenemos el deber de meditar previa y profundamente sobre las consecuencias de nuestro sufragio. 

El hecho de que no exista un sistema electoral sin defectos no debe poner en tela de juicio la democracia, cuya adopción es una decisión moral colectiva, que la Historia demostró ser acertada.  Sinceramente, así lo creo.